La Parabola

En matemática, la parábola  es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.
Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.
En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

Elemento de la parabola

Vértice:  punto desde el cual parten las dos Ramas de la Parábola. También es el punto donde el eje corta a la parábola

Eje de simetría:   también se conoce como eje de la parábola. Es la línea que pasando por el Vértice, divide a la parábola en dos Ramas iguales

 Intersecto x:  punto(s) donde la parábola intersecta al eje X

Intersecto y : punto donde la parábola intersecta al eje Y

Foco: es un punto ubicado sobre el eje. Todos los puntos de la parábola equidistan de este punto y de la Directriz

Directriz: recta perpendicular al eje ubicada a una distancia del vértice igual que la distancia entre el Foco y el vértice.

Teorema  (ecuación canónica de la parábola)  

La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice y directriz es
 

El eje de la parábola es vertical y el foco está a unidades (orientadas) del vértice. Si , la parábola abre hacia arriba y el foco está en ; si ,  la parábola abre hacia abajo y el foco está en .

 

Ejercicios

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en y foco en .

Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical, además abre hacia abajo y , entonces la ecuación está dada por:

La directriz es

 

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es .

Si la directriz es (eje horizontal), la ecuación es

Enlace: http://tutormatematicas.com/ALG/Parabola_formula_graficacion.html

Inecuaciones

Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce como Intervalo.

En matemáticas, una inecuación es una expresión referida a lo que se quieren referir al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b), llamadas inecuaciones no estrictas.

Si

a y b representan expresiones en el conjunto de los numeros reales entonces expresiones como: a < b, a · b,  a > b y a ¸ b reciben el nombre de desigualdad  y se dice que a y b son los miembros de la desigualdad.
Una inecuación es una expresión de la forma: f(x) < g(x), f(x) £ g(x), f(x) > g(x) o f(x) ³ g(x).
La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.

EJEMPLOS

5x + 6 < 3x - 8
5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7

Todos los valores de x menores que -7 (es decir desde -7 hasta -¥ ) satisfacen la inecuación

La circunferencia

Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
Elementos de la circunferencia

·        Centro: el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

·        radio: el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;

·        diámetro: el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;

·        cuerda: el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;

·        recta secante: la que corta a la circunferencia en dos puntos;

·        recta tangente: la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
punto de tangencia: el de contacto de la tangente con la circunferencia;

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA:

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación:

 

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al:

ECUACION GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA:

Una vez que se tiene la ecuacion general de la circunferencia existen dos formas de hallar el centro y el radio de la circunferencia.

1.- Completar cuadrados.

x² + y² + Dx + Fy + E = 0

x² + Dx + (D/2)² + y² + Fy + (F/2)² = - E + (D/2)² + (F/2)²

(x + D/2)² + (y + F/2)² = radio

Ejemplo:

x² + y² +16x - 6y + 48 = 0
x² + 16x + 8² + y² - 6y + 3² = -48 + 8² + 3²

(x + 8) + (y - 3) = -48 + 64 + 9

(x + 8)² + (y - 6)² = 25 

 (h,k) = (8,-6)          r = 5

 

2.- Con formulas

x² + y² + Dx + Fy + E = 0

                     ____________

radio = 1/2  \| D² + E² - 4F  
Centro = (-D/2 ; - E/2)

ENLACE:

http://www.educando.edu.do/sitios/pnc2005/recursos/recursos/

matematica/descartes/4b_eso/La_circunferencia/circunfe2.htm



 

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

PARALELISMO

Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección y ésto ocurre cuando sus vectores de dirección son iguales o proporcionales

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes coinciden:  M = M' 

PERPENDICULARIDAD

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales, o lo que es lo mismo, si el producto escalar de sus vectores de dirección es cero. Traduciendo ésto a coordenadas: Dos rectas con vectores de dirección (d1, d2) y (-d1, d2)  son perpendiculares.

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes y cumplen que: M y M' cumplen que: M' = -1/M

ECUACIONES DE UNA RECTA

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.
ECUACION PUNTO - PENDIENTE

La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1,y1) y tiene la pendiente dada m es:

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, − 4) y que tiene una pendiente de − 1 / 3.

y - y1 = m(x - x1)
y - (-4) = -1/3(x - 2)
3(y + 4) = -1(x - 2)
3y + 12 = -x + 2
3y = -x - 10
y = -1/3x - 10/3

ECUACION GENERAL DE LA RECTA
La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y.

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la linea recta.

TEOREMA

La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una linea recta.

i. A = 0, B diferente de 0.

En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde

 

 

ii.  B = 0, A diferente de 0.

 

En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde

 
iii. Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general


Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x, m

viene dado por

y su coeficiente angular n, con respecto al eje y

viene dado por

PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano ), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2), la diferencia en X es x2 − x1, mientras que el cambio en Y se calcula como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:

Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación. Una línea horizontal tiene pendiente = 0, mientras que una que forme un ángulo de 45° con el eje X tiene una pendiente = +1 (si la recta "sube hacia la derecha"). Una recta con 45° de inclinación que "baje hacia la derecha", tiene pendiente = -1. Una recta vertical no tiene un número real que la defina, ya que su pendiente tiende a infinito.


El ángulo θ que una recta tiene con el eje positivo de X, está relacionado con la pendiente M, en la siguiente ecuación:

            

 

Division de un segmento en una razon dada

A partir de las coordenadas y una razón propuesta se puede dividir un segmento de línea recta en varios segmentos dentro o fuera de la línea, incluso razón negativa: