Geometria analitica: La Parabola

En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.
Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.
En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

Elemento de la parabola

Vértice: punto desde el cual parten las dos Ramas de la Parábola. También es el punto donde el eje corta a la parábola

Eje de simetría: también se conoce como eje de la parábola. Es la línea que pasando por el Vértice, divide a la parábola en dos Ramas iguales

Intersecto x: punto(s) donde la parábola intersecta al eje X

Intersecto y : punto donde la parábola intersecta al eje Y

Foco: es un punto ubicado sobre el eje. Todos los puntos de la parábola equidistan de este punto y de la Directriz

Directriz: recta perpendicular al eje ubicada a una distancia del vértice igual que la distancia entre el Foco y el vértice.

Teorema (ecuación canónica de la parábola)

La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice

y directriz

es
$\begin{displaymath}{\left( x - h \right) }^2 = 4\,p\,\left( y - k \right)\end{displaymath}$

El eje de la parábola es vertical y el foco

está a $\vert p\vert$ unidades (orientadas) del vértice. Si

, la parábola abre hacia arriba y el foco está en

; si

, la parábola abre hacia abajo y el foco está en

$\begin{displaymath}{\left( y - k \right) }^2 = 4\,p\,\left( x - h \right)\end{displaymath}$

Ejercicios

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en

y foco en

Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical, además abre hacia abajo y

, entonces la ecuación está dada por:

$\begin{displaymath}y - 4 = -4\,{\left( x + 2 \right) }^2 \end{displaymath}$
La directriz es

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es

$\begin{displaymath}y^2 - 6\,y - 4\,x + 17 = 0\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} y^2 - 6\,y + 9 - 9 - 4\,x + 17 & = & 0 \\... ...y - 3 \right) }^2 & = & 4\,\left( x - 2 \right) \\ \end{array}\end{displaymath}$

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es $\,x^2=4py$