Geometria analitica: octubre 2010

lunes, 4 de octubre de 2010

La Parabola

En matemática, la parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.
Se define también como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta (eje o directriz) y un punto fijo llamado foco.
En geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

Elemento de la parabola

Vértice: punto desde el cual parten las dos Ramas de la Parábola. También es el punto donde el eje corta a la parábola

Eje de simetría: también se conoce como eje de la parábola. Es la línea que pasando por el Vértice, divide a la parábola en dos Ramas iguales

Intersecto x: punto(s) donde la parábola intersecta al eje X

Intersecto y : punto donde la parábola intersecta al eje Y

Foco: es un punto ubicado sobre el eje. Todos los puntos de la parábola equidistan de este punto y de la Directriz

Directriz: recta perpendicular al eje ubicada a una distancia del vértice igual que la distancia entre el Foco y el vértice.

Teorema (ecuación canónica de la parábola)

La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice

y directriz

es
$\begin{displaymath}{\left( x - h \right) }^2 = 4\,p\,\left( y - k \right)\end{displaymath}$

El eje de la parábola es vertical y el foco

está a $\vert p\vert$ unidades (orientadas) del vértice. Si

, la parábola abre hacia arriba y el foco está en

; si

, la parábola abre hacia abajo y el foco está en

$\begin{displaymath}{\left( y - k \right) }^2 = 4\,p\,\left( x - h \right)\end{displaymath}$

Ejercicios

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en

y foco en

Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical, además abre hacia abajo y

, entonces la ecuación está dada por:

$\begin{displaymath}y - 4 = -4\,{\left( x + 2 \right) }^2 \end{displaymath}$
La directriz es

Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es

$\begin{displaymath}y^2 - 6\,y - 4\,x + 17 = 0\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\begin{array}{rcl} y^2 - 6\,y + 9 - 9 - 4\,x + 17 & = & 0 \\... ...y - 3 \right) }^2 & = & 4\,\left( x - 2 \right) \\ \end{array}\end{displaymath}$

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es $\,x^2=4py$

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es $y=\frac{x^2}{4p}$ .

Si la directriz es

(eje horizontal), la ecuación es

Enlace: http://tutormatematicas.com/ALG/Parabola_formula_graficacion.html

Inecuaciones

Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce como Intervalo.

En matemáticas, una inecuación es una expresión referida a lo que se quieren referir al tamaño u orden relativo de dos objetos (ver también ecuación). La notación a < b significa que a es menor que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b (a es mayor o igual que b), llamadas inecuaciones no estrictas.

a y b representan expresiones en el conjunto de los numeros reales entonces expresiones como: a < b, a · b, a > b y a ¸ b reciben el nombre de desigualdad y se dice que a y b son los miembros de la desigualdad.
Una inecuación es una expresión de la forma: f(x) < g(x), f(x) £ g(x), f(x) > g(x) o f(x) ³ g(x).
La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.

EJEMPLOS

5x + 6 < 3x - 8
5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7

Todos los valores de x menores que -7 (es decir desde -7 hasta -¥ ) satisfacen la inecuación

domingo, 3 de octubre de 2010

La circunferencia

Una circunferencia es un conjunto de puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.
Elementos de la circunferencia

· Centro: el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

· radio: el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;

· diámetro: el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;

· cuerda: el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;

· recta secante: la que corta a la circunferencia en dos puntos;

· recta tangente: la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
punto de tangencia: el de contacto de la tangente con la circunferencia;

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA:

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (h, k) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación: