PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

PARALELISMO

Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección y ésto ocurre cuando sus vectores de dirección son iguales o proporcionales

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes coinciden:  M = M' 

PERPENDICULARIDAD

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales, o lo que es lo mismo, si el producto escalar de sus vectores de dirección es cero. Traduciendo ésto a coordenadas: Dos rectas con vectores de dirección (d1, d2) y (-d1, d2)  son perpendiculares.

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes y cumplen que: M y M' cumplen que: M' = -1/M

ECUACIONES DE UNA RECTA

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas X.
ECUACION PUNTO - PENDIENTE

La ecuación de la recta que pasa por el punto P1 = (x1,y1) y tiene la pendiente dada m es:

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, − 4) y que tiene una pendiente de − 1 / 3.

y - y1 = m(x - x1)
y - (-4) = -1/3(x - 2)
3(y + 4) = -1(x - 2)
3y + 12 = -x + 2
3y = -x - 10
y = -1/3x - 10/3

ECUACION GENERAL DE LA RECTA
La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y.

La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la linea recta.

TEOREMA

La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una linea recta.

i. A = 0, B diferente de 0.

En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde

 

 

ii.  B = 0, A diferente de 0.

 

En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde

 
iii. Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general


Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x, m

viene dado por

y su coeficiente angular n, con respecto al eje y

viene dado por

PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de una recta en un sistema de representación triangular (cartesiano ), suele ser representado por la letra m, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

Dados dos puntos (x1,y1) y (x2,y2), la diferencia en X es x2 − x1, mientras que el cambio en Y se calcula como y2 − y1. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:

Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación. Una línea horizontal tiene pendiente = 0, mientras que una que forme un ángulo de 45° con el eje X tiene una pendiente = +1 (si la recta "sube hacia la derecha"). Una recta con 45° de inclinación que "baje hacia la derecha", tiene pendiente = -1. Una recta vertical no tiene un número real que la defina, ya que su pendiente tiende a infinito.


El ángulo θ que una recta tiene con el eje positivo de X, está relacionado con la pendiente M, en la siguiente ecuación:

            

 

Division de un segmento en una razon dada

A partir de las coordenadas y una razón propuesta se puede dividir un segmento de línea recta en varios segmentos dentro o fuera de la línea, incluso razón negativa:

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de las coordenadas de de los puntos extremos.

Ejemplo:


Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.

A(3,9)              B(-1,5)


X= 3 – 1/2  , Y=9+5/2

M=(1,7)

Distancia entre dos puntos

En matemática, la distancia entre dos puntos del espacio euclídeo equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la geometría no euclidiana, el «camino más corto» entre dos puntos es un segmento de curva.

Se denomina distancia euclídea entre dos puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) del plano a la longitud del segmento de recta que tiene por extremos A y B. Puede calcularse así:







Programa para hallar distancia entre dos puntos:


http://www.educaplus.org/play-38-Distancia-entre-dos-puntos.html

Origen de coordenadas

Origen de un sistema bidimensional de coordenadas cartesianas.

El origen de coordenadas es el punto de referencia de un sistema de coordenadas. En este punto, el valor de todas las coordenadas del sistema es nulo. Sin embargo, en algunos sistemas de coordenadas no es necesario establecer nulas todas las coordenadas. Por ejemplo, en un sistema de coordenadas esféricas es suficiente con establecer el radio nulo (ρ = 0), siendo indiferentes los valores de latitud y longitud.
En un sistema de coordenadas cartesianas, el origen es el punto en que los ejes del sistema se cortan.

Par Ordenado

En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos números, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados, y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano.



Eje (X): abscisas

Eje (Y): ordenadas



Interseccion: Origen



(X,Y)